數學的角度來看麻將

我們要來談談打麻將時另一個困擾-找錢。打牌會伴隨著賭注,有經驗的場主通常得多準備一些零錢,避免有找不開的情況發生。零錢很多當然就不會遇到找錢麻煩,但是,到底「最少需要多少零錢才夠用呢?」,就是一道有趣的數學謎題。

首先,我們要先給個合理的數學建模,有三條規則:

1.   找不開可以跟其他家換錢
(若不能跟其他家換的話,就沒什麼好談的了,當零錢持續集中到某個人身上時,其他人就一定很難找的開。因此這個假設是合理的。)

2.   不能欠,每把輸贏一定要立刻結算
(若能欠的話,也沒什麼好談的,就一直欠即可。因此這個假設也是合理。)
3.   每位玩家有足夠的錢
(不夠錢,就不是找不找得開的問題了。)

我們先看單純一點的情況,只允許使用 50 元硬幣與 10 元硬幣支付賭注(也就是沒有百元鈔和千元鈔),此時,涉及找錢的零錢就只有 10 元硬幣。


兩人找錢引理
兩個人身上共有 4 個 10 元硬幣的話,一定找的開。

舉例來說,甲和乙有很多 50 元硬幣,甲有 1 個 10 元,乙有 3 個 10 元(兩人身上 10 元硬幣共 4 個),此時甲不管是要付給乙 10元、20元、30元、40元、50元、60元…都可以找的開;相反地,乙要付給甲多少錢也都沒有找錢的麻煩。同樣的道理,兩人各有 2 個10 元硬幣也不會有困難,這題留給讀者動動腦。

麻將找錢定理

四個人身上共有 12 個 10 元硬幣的話,一定找的開。
這個要用廣義鴿籠原理來證明。
現在甲、乙、丙、丁四人,假設甲、乙兩人有輸贏,我們先把四人分成三個籠子,10 元硬幣當作鴿子:
第一個籠子有「甲乙兩人的 10 元硬幣」
第二個籠子有「丙的 10 元硬幣」
第三個籠子有「丁的 10 元硬幣」

最糟糕不能找開的情況,就是甲乙兩人自己找不開,丙跟丁兩人又沒有足夠硬幣可以換;亦即,第一個籠子只有 3 個 10 元,第二、三個籠子都只有 4 個 10 元,共 11 個 10 元,所以此時只要再生出 1 個硬幣,變成 12 個,就能保證「甲乙兩人共有 4 個 10 元以上,不然的話丙丁會有人有 5 個 10 元」,若前者發生,就用 兩人找錢引理 解決,若後者發生,就跟有 5 個 10 元的人換錢即可。

讀者可能會好奇「如果是自摸的話,四個人都牽涉到錢的變動怎麼辦?」….. 其實,就先解決兩個人(把有問題的人都解決掉,就沒有問題了…)的問題,反正四人擁有的 10 元硬幣總數也不會減少,不管解決兩人問題之後,零錢變成何種分布,總共還是有 12 個硬幣,因此,其他人的結算依然能夠找開。

兩種面額多人找錢定理

有 n 個人,只能使用面額 a 與 b 的話,其中 b 是 a 的某個倍數 b=ka,這裡都考慮正整數。則所有人身上總共有 (n-1)(k-1) 個 a,必定能找開。

更多面額的話,就分開算即可。以四人為例,若允許使用 10 元、100 元跟 500 元(沒有50 元),那就是套用 10 元和 100 元兩種面額找錢定理,再套用 100 元和 500 元兩種面額找錢定理,得知需要 27 個 10 元,與 12 張 100 元,其他都用 500 元,這樣還是都能找開。
一般來說,以台幣為例,面額 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 都允許使用的話,場主只要準備 1元、10元、100元各 12 個(張)、5、50、500元各 3 個(張),其餘的都拿 1000 元的大鈔,就能找開所有的錢了。

為何海底要留8疊牌?

若所有海底的牌都使用的話,至少會產生以下兩個問題

1) 打到最後幾張時,記憶力極好的玩家,可以根據已出現的牌推算剩下的有哪些牌。
2) 獨聽某一張的人,等到最後一定會胡,(例如已經拿了 7 張花的人,到最後一定可以胡),可能導致人人都想做大牌,單吊、胡牌機率小沒關係,聽的牌最終還是會現身。

為了避免上述問題,刻意有一小部份的牌不使用,以增加不確定性。許多遊戲都有類似的安排,例如:雙人大老二。

至於留幾張牌呢?一般作法是留約一個玩家的量,因為每個人一開始都是抓 16 張牌,所以海底就留一個人拿的牌數,留 16 張。換句話說,等於有 5 個人在打牌 (編按: 聽起來也太可怕了吧XDD),海底也算一個人。當有人槓牌時,相對的,其它的牌就會容易聚集,所以就當作第 5 人也槓一張,所以就變成了留 17 張牌(多一張)在海底。

當然,還是那句話,不管規則怎麼訂,大家都是相對公平的,沒有玩花牌的人,就改成留 14 張;或是有些人玩「鐵八」、「鐵七」等留固定張數的規則。只要事先講好,都是相對公平的。

會不會有一副牌型同時平胡又碰碰胡呢?

這是一個有趣的問題。平胡又碰碰胡,從來沒聽過,應該不可能吧?! 別急著下結論,先來看看這個例子

牌型為碰碰胡,但把三組「234」拿出來重新排列後變成

就可以算成平胡牌型了,不是嗎?

答案是,也不是! 因為這副牌只有 11 張,其他張數未必辦得到。

一副牌依一四七、二五八、三六九分成三堆,每堆的張數除以 3 的餘數必有一個與另兩個不同,則眼睛就在不同的那堆裡。

根據上述原理可以知道眼睛會在哪一堆,把眼睛拿掉後,若是平胡則剩下都是「順」,必定三堆數量一樣多張,同時又要是碰碰胡的話,每一堆都必須為 3 的倍數才能湊成「刻」,因此,搭子數必定要是 3 的倍數才能夠分成一樣多的三堆。不論玩的是 16 張麻將(5個搭子),或是 13 張麻將(4個搭子),三堆必無法一樣多,因此,結論是無法同時碰碰胡又平胡的。

結語

打麻將的數學冷知識系列文章用了很多數學的角度來看麻將,相信讀者一定會覺得,對於自己麻將的技術的提升非(ㄨㄢˊ)常(ㄑㄩㄢˊ)有(ㄇㄟˊ)用。打麻將除了具備基本牌技之外,剩下就靠運氣左右輸贏,不必太在意勝敗,開心就好,好好享受打牌的過程。其實受民眾歡迎的桌遊設計,運氣成份通常佔有很大的比例,想想這也挺自然的,若能夠使用數學理論達成「必勝」的話,反而就沒人想玩了。文章的主要目的是要告訴大家,數學處處都有,問題在於如何去發現它。從中小學的基本數學,到大學的高等數學,很多都可以運用到生活中,雖然沒有數學,還是一樣能過生活,但有了它的輔助,可以讓生活過得更「理性」哦。

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